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Yann Bidon - Développeur web et d'applications

Le blog

31 Dec

2016

Écrit Par  Yann Bidon

Matrice des responsabilités, le RACI

Bonjour à tous et à toutes,

Lorsqu'on fait un projet, il est important d'attribuer à chaque personne une tâche à faire et définir qui est responsable de quoi. On peut résumer ça très facilement et visuellement en un document qui est une matrice des responsabilités. Aujourd'hui, je vous propose de découvrir le RACI qui permet justement de réaliser cela.

Cet outils de management va voir permettre de rapidement savoir à qui est affecté une tâche ou inversement quelle tâches sont affectés une personne donnée.

Bon visionnage,

<youtube>uG4trJ1lduQ

31 Dec

2016

Écrit Par  Yann Bidon

Le Test-Driven Development (TDD)

Bonjour à tous et à toutes

Aujourd'hui dans le pilotage de projet, je vous propose de découvrir le TDD ou Test-driven development. Le principe est simple et consiste à faire les tests avant de faire les méthodes à tester.

Qu'est-ce que cela peut-bien nous apporter? Hé bien justement, c'est tout le but de cette vidéo. Nous verrons donc les apports du TDD et comment bien le réaliser.

Bon visionnage ;) .

<youtube>fMrUkPBv_3c

31 Dec

2016

Écrit Par  Yann Bidon

Le cycle en V

Bonjour à tous et à toutes,

On attaque cette fois réellement la gestion d'un projet et on va commencer par la méthode la plus utilisée à l'heure actuelle qui est le cycle en V.

Le cycle en V va vous permettre de découper différentes phases pour l'élaboration de votre projet. Chaque phase a son lot de livrable et des tâches spécifiques. Mais ne vous inquiétez pas, nous allons les voir ensemble pas à pas.

En vous souhaitant un bon visionnage,

<youtube>BZQTi4Hy7D0

26 Dec

2016

Écrit Par  Yann Bidon

Un processus infini peut-il se terminer?

Est-ce qu'un processus infini peut se terminer? Voilà une question forte intéressante. "Stupide" diront certains sans comprendre toute la subtilité scientifique derrière. "C'est trivial" diront d'autres, "par définition, ça n'a pas de fin". La question est en réalité plus subtile que ça car on ne parle pas de fin, on parle de terminer, d'un après, peut-il y avoir un "après" lors d'un processus infini?

Je m'explique. Connaissez-vous le paradoxe de la dichotomie? Il fait parti des fameux paradoxes de Zénon d'Élée, philosophe grec présocratique du Ve siècle avant J.C. Concrètement, il se présente comme sui: Zénon se tient à huit mètres d'un arbre et veut y lancer une pierre. Pour atteindre l'arbre, la pierre va d'abord devoir parcourir la moitié de la distance, soit 4m, puis la moitié des 4m restant, donc 2m, puis ainsi de suite. À chaque itération, il va devoir parcourir la moitié de la distance restante et ce, indéfiniment. Du coup, jamais la pierre ne touchera l'arbre car c'est un processus infini. C'est absurde, je pense que vous pourrez tous attester que la pierre touchera l'arbre (si tant est que Zénon vise bien). Pourtant, si je suis mon raisonnement, jamais il n'est censé le toucher car il restera toujours à la pierre à parcourir l'autre moitié de la distance restante. Que dire alors?

"Simple! Tu ne m'auras pas, Yann. On parle ici du monde réel! Or le monde réel est bornée par la physique. Or la physique nous dit qu'il y a, à un certain niveau, un élément insécable, qu'on ne pourra plus diviser en deux. Pendant longtemps, ce fut l'atome en tant que tel puis avec nos avancées modernes, c'est le quantas qu'on ne peut réduire. Basée sur la constante de Planck, utilisée pour décrire la taille des quantas, la longueur de Planck est une distance qu'on ne peut, à ce jour, physiquement pas réduire. Celle-ci est de [math]l_p = 1.616252 \times 10^{-35}m[/math]. On ne peut alors pas dans le monde réel diviser par deux la distance entre la pierre et de l'arbre indéfiniment! Donc ça ne marche pas car ce n'est pas un processus infini."

Oo Bah Billie, tu as pris des cours depuis notre dernière rencontre? Bah tu sais quoi? Ce que tu dis est vrai. On ne peut pas physiquement diviser continuellement par deux, on est borné par la constante de Planck et ce qui en découle. En outre, même si on remettait en cause cette constante et trouverait un élément encore plus petit, on ne ferait que réduire cette valeur mais elle ne sera jamais infini. Cependant, on est d'accord que quand le monde abstrait des maths, on peut. Représentons mathématiquement le cheminement de la pierre. On est d'accord qu'à chaque étape, je vais devoir ajouter à la distance précédente un demi de elle-même, ce qu'en terme de suite, on dirait [math]u_{n+1} = \frac{1}{2}u_n[/math]. Et on va faire la somme des éléments de cette suite. Appelons cette somme S et la distance à traverser d. On a donc :
[math]S = \frac{1}{2}d + \frac{1}{4}d + \frac{1}{8}d + \frac{1}{16}d + ...[/math]
Multiplions S par 1/2 :
[math]\frac{1}{2}S = \frac{1}{4}d + \frac{1}{8}d + \frac{1}{16}d + ...[/math]
Et si je soustrais les deux équations, que se passerait-il? Tous les éléments qui continuent à l'infini s'annuleront sauf le premier. On obtiendra :
[math]\frac{1}{2}S = \frac{1}{2}d \Rightarrow S = d[/math]
La distance sera donc atteinte...même dans le monde des mathématiques sans constante de Planck. Car oui, Billie, une somme infinie peut arriver à un résultat fixe et déterminé. L'un des exemples les plus parlant est le suivant:
[math]S = 0.9999...\\
10S = 9.9999...\\
10S = 9 + 0.9999...\\
10S = 9 + S\\
9S = 9\\
S = 1\\
1 = 0.9999...[/math]
Ceci n'est valable que pour l'infini. Il ne peut pas y avoir de dernier 9 sans quoi ça ne serait plus égal mais à l'infini, c'est réellement égal. 1 = 0.9999.... Tout comme [math]d = \frac{1}{2}d + \frac{1}{4}d + \frac{1}{8}d + \frac{1}{16}d + ...[/math]

"Une addition infini qui se traduit par un nombre défini... Je ne sais quoi dire. Tu es sûr qu'il n'y a pas erreur? Que ce n'est pas un raisonnement par l'absurde par exemple". Ok, je vais prendre un autre exemple. On va parler des supertask et de la lampe de Thomson. J'allume une lampe puis j'attends une minute. J'éteins alors la lampe et j'attends moitié moins de temps donc 30 secondes. Je rallume ma lampe et j'attends 15 secondes et je continue le processus d'allumer et d'éteindre la lampe indéfiniment. Comme je divise le temps d'exécution par deux à chaque fois, on est d'accord que comme pour le paradoxe de Zénon, on a ici un processus infini. Or, pour ce processus infini, je réduis le temps de chaque étape de moitié ce qui fait que ce processus infini va durer un instant fini. Au passage, c'est ça qu'on appelle une supertask. Car in fine, qu'y a-t-il à 2 minutes? La lampe est-elle allumée ou éteinte? Car l'infinité des actions s'est déroulée dans ces deux minutes si vous regardez bien. La somme ne va pas nous aider cette fois car elle diverge entre deux états (allumé 1 et éteint -1) qui n'est pas sans rappeler cet article où l'on trouve que la réponse est 1/2 donc que ça peut être soit l'un, soit l'autre. On ne peut le déterminer.

Paul Benacerraf vient alors à notre aide dans son écrit "Tasks, super-tasks, and the modern eleatics". Il souligne que nous sommes incapable de déterminer l'état de la lampe car nos informations ne sont pas complètes. On a mélangé le monde réel (la lampe) et le monde mathématique. Comment fait-on pour que la lampe alterne d'état? Si par exemple, c'est une boule électrique rebondissant sur une plaque conductrice dont la hauteur diminue à chaque fois de moitié comme sur le dessin ci-dessous, alors là, on est capable de déterminer :
image utilisateur

Car on connaît ici la situation finale, la boule cessera de rebondir à la fin de notre supertask et cela nous permet de déduire la situation finale de la lampe en fonction du circuit électrique utilisé. Le fait de mathématiquement pas pouvoir déterminer la situation finale est justement du à cette abstraction du monde mathématique, voilà tout. Il n'en reste pas moins qu'il est totalement possible pour un processus infini de se terminer.

12 Nov

2016

Écrit Par  Yann Bidon

Gerrymandering

On continue notre série sur les travers de notre système électoral. Après le système de vote, il est temps de nous attaquer au découpage électoral. Cette problématique se pose lorsqu'on doit élire non pas un conseil dans sa globalité mais qu'on vote que pour une constituante, une partie de celui-ci.

De quoi je parle? Vous voyez les élections municipales en dehors des 3 plus grandes villes de France qui ont un traitement spécial (Paris, Lyon Marseille)? Vous votez ici par un vote majoritaire pour l'entièreté du conseil. Le vainqueur remporte plus de la moitié des sièges et le reste est partagé proportionnellement. Bien qu'on peut critiquer le scrutin majoritaire, on note qu'ici, nous maitrisons totalement la composition du conseil, de façon à représenter la volonté des habitants de la ville. Normalement, la liste qui a remporté les suffrages représente bel et bien la majorité de la population ayant votée (le vote blanc n'étant pas décompté). Rien d'anormal. Cela vous semble même logique. Cela serait étrange que le parti vainqueur ne soit pas celui qui soit le plus représenté.

Pourtant, c'est ce qui peut arriver lorsqu'on vote par circonscription, par zone si vous voulez. C'est le cas par exemple pour les élections législatives où différentes circonscriptions élisent leurs députés. C'est aussi le cas pour les sénatoriales où on vote une liste par département. Il y a enfin les cantonales qu'on a appelé départementales où chaque canton vote pour un représentant au conseil général qui s'appelle maintenant conseil départemental (et mais c'est que ça bouge quand même). Bon, et du coup, où est le problème, me direz-vous? Chacun des territoires choisit un représentant pour siéger à un conseil d'un niveau plus grand. Qu'est-ce qu'il y a de mal? Les limites de ces territoires ne sont pas marquées dans le marbre. En fonction de la démographie, de l'évolution du territoire et de sa population ou encore par simple volonté politique, les limites bougent et se redéfinissent. Et on n'en parle jamais mais ce n'est pas si rare que ça. Les lignes pour les législatives ont bougé en 2009, les cantons ont été réduits par deux en 2013 (ce qui a valu qu'on repousse les élections départementales et régionales en 2015). Or celui qui redessine les lignes maitrisent totalement le scrutin.

Je m'explique. Imaginez un pays super simple avec 100 villes que je vais représenter ici par un carré de 10x10. Globalement, par le jeu des statistiques, des sondages, des résultats précédent, on sait déjà globalement pour qui la ville va voter. Toujours pour simplifier, on ne va prendre que 2 partis, les rouges et les bleus. Disons qu'il y a 40 villes pour les bleus et 60 pour les rouges. On vient de nous donner comme mission de découper le territoire en 10 circonscriptions. Dans l'idéal, je peux faire en sorte que la proportion (60% de bleu et 40% de rouge) soit respectée au sein du conseil. Il me suffit de découper le territoire comme suit:

image utilisateur

Mais voilà, moi je suis pro-rouge ou bien les rouges m'ont tout simplement acheté. En jouant avec les lignes, je suis capable de faire en sorte que la totalité du conseil soit rouge. Si, si. C'est juste un petit jeu géométrique.

image utilisateur

Sachez que les bleus peuvent également m'acheter et bien que je ne peux leur donner la totalité (car ils n'ont pas la majorité des villes), je peux quand même leur donner la majorité au conseil auquel ils candidatent. Il suffit que je coupe comme sui et ils auront 60% :

image utilisateur

C'est ça le gerrymandering. C'est le fait de découper le territoire dans le but de favoriser un parti. C'est un mot qui nous vient des États Unis, en 1981 pour dénoncer les dérives du découpage électoral. Le Gerrymandering est un vrai problème et n'affecte pas juste mon petit schéma ci-dessus. On a notamment eu le cas récemment avec l'élection présidentielle américaine où malgré que la population ait voté majoritairement pour Hillary, par le jeu des swing-states et donc du découpage électoral, c'est Trump qui a reçu le plus de grands électeurs et sera normalement sacré président. Ce fut également le cas pour les élections présidentielles américaines de 1876, 1888 et 2000, où les démocrates, bien que majoritaires dans l'électorat, furent battus à cause du découpage des États.

Le problème du vote par zone est l'effet de seuil. En réalité, pour gagner, seul suffit 50.01%. Le reste des votes n'est que surplus et est donc perdu alors qu'ils auraient pu aider une autre zone pour faire basculer le parti. Car que vous gagnez avec 50.01% ou 100%, cela importe peu. Vous avez remporté votre zone mais ça ne change rien au niveau de la composition du conseil. De même, lorsqu'on perd, l'ensemble de nos votes pour le perdant sont eux-mêmes perdus. C'est d'autant plus rageant si le vainqueur n'a que 51%. Youhou, 49% de la zone n'est pas représenté. Alors que ces voix auraient elles aussi permis peut-être de récupérer une autre zone (et donc un siège).

Mais critiquez, c'est mignon. Proposez des solutions, c'est meilleur. Quelles sont les alternatives? La plus naturelle est évidemment de donner le découpage des lignes électorales à un organisme indépendant. Mais peut-on réellement être indépendant? Je préfère une autre solution, plus pragmatique. Vous avez peur que cet organisme se fasse acheter par un des partis pour le favoriser? Payez le pour qu'ils fassent en sorte de faire un découpage correspondant au mieux aux proportions nationales. Si je reprends mon exemple de 100 villes. Je vais demander à l'organisme de me faire un découpage pour que la composition du conseil colle au mieux du 60% rouge et 40% bleu et je ne paierai que si c'est le cas. En quelque sorte, on fait du gerrymandering mais là, ce n'est pas les partis mais l'État qui paie pour que le conseil soit représentatif de sa population. C'est quand même mieux et c'est cool car ça ne serait plus aux politiques de le faire. Seulement ça coute des sous...mais ça garantie une bonne représentativité.

On peut aussi supprimer les zones et faire un vote à la proportionnelle. On voterait alors pour une liste comme pour les municipales et ça serait une élection nationale. Cependant, dans ces cas là, on ne sera pas sûr que notre territoire soit représenté. Cela peut moralement poser problème et vous en êtes seul juge. Mais bon, si on nous sort une liste avec essentiellement des Parigos, avec tout le respect que j'ai pour eux, avouons que l'assemblée ne sera guère représentative de la diversité du territoire. On impose une personne de chaque territoire dans la liste? S'il gagne 60%, comment décide-t-on de ceux qui vont siéger? De quel droit, via des arrangements internes, va-t-on écarter tel territoire plutôt qu'un autre?

On peut aussi découper le territoire non pas par un choix humain mais par les mathématiques. Il existe de nombreux algorithmes pour découper une zone de N éléments en M circonscriptions. Je pense, par exemple, au Shortest Split Line Method que j'aborderai surement un jour dans ma rubrique mathématique. Pour le moment, je ne vais pas rentrer dans les détails mais je peux vous assurer qu'il existe des méthodes "neutres" pour découper une zone en x sous-zones / circonscriptions. Alors bien sûr, cela peut totalement aboutir à une situation, un découpage qui va favoriser un parti plutôt qu'un autre, mais ça sera purement fortuit, ça ne sera pas voulu par l'Homme, il n'y aura pas eu de malversation de l'Homme, c'est une machine qui a découpé, tout simplement.

La fausse bonne idée serait de proposer de découper les zones et de les soumettre à l'approbation des partis. Alors déjà, je ne vous raconte pas le bordel pour mettre tout le monde d'accord. Et surtout, il faut bien voir que les partis n'ont pas les mêmes intérêts que les électeurs. Les électeurs veulent des élections serrées où le candidat doit se battre et donc convaincre pour arriver premier. Cela permet ainsi de donner du poids au peuple. À l'inverse, les candidats, eux, veulent surtout un vivier facile pour avoir leur place assurée et donc conserver leurs privilèges. Et c'est ainsi qu'on se retrouve avec toujours les mêmes, indéboulonnables, tout simplement car ils se seront répartis en terrain conquis. Pour illustrer, imaginez-vous juste 4 zones, 2 bleus et 2 rouges, que vous devez couper en deux. Pour les électeurs, le meilleur serait de faire un découpage en deux zones "1 bleu et 1 rouge". Comme ça, chacun va devoir convaincre, se battre, céder sur des points pour faire plaisir aux électeurs.... Les partis, eux, veulent s'assurer d'être présent, d'avoir le siège. Ils ne veulent pas d'une guerre incertaine. Ainsi ils vont préférer une zone "2 bleus" et une autre "2 rouges" où chacun gagne un siège assurément. Mais derrière, il n'y a aucun challenge, aucun risque et donc si on a aucun risque, pourquoi le candidat se plierait aux réclamations de quelques uns?

Le Gerrymandering est un sérieux problème qui peut totalement défaire le résultat d'une élection. Ainsi, il nous appartient d'être vigilant lorsque les lignes bougent. Mais sincèrement, aujourd'hui, qui s'en soucie? Personne. Le saviez-vous que les circonscriptions avaient bouger en 2009? Saviez-vous que les cantons aussi en 2013? Cela fait beaucoup moins de bruit que la réduction par deux de nos régions et pourtant d'un point de vue électoral, c'est beaucoup beaucoup plus important. Des solutions, il y en a, en gardant les zones, en les enlevant, en virant le politique du processus, en payant pour assurer une équité. Maintenant, encore faut-il des voix pour réclamer le changement. Un certain président avait annoncé que le changement, c'était maintenant mais sur le fond, in fine, pas grand chose a changé et personne ne s'ose à aborder le sujet. On préfère se cristalliser sur "faut-il faire voter les étrangers" plutôt que sur "comment rendre notre système électoral plus juste"...

31 Dec

2016

Écrit Par  Yann Bidon

Le poker planning

Bonjour à tous et à toutes,

Quand on est chef de projet, on doit subdiviser le dit projet en tâches auxquelles on va affecté des ressources humaines et temporelles. Pour ce faire, il faut avoir une estimation de la complexité de cette tâche et ce n'est pas toujours choses aisées, loin de là, même.

Aujourd'hui, je vous propose de découvrir une démarche qui nous vient de l'agilité et que nous permet d'obtenir de manière ludique une bonne approximation de la difficulté d'une tâche. Cette démarche est évidemment le Poker Planning

Il ne me reste plus qu'à vous souhaiter un bon visionnage.

<youtube>ateEuV6wUps

31 Dec

2016

Écrit Par  Yann Bidon

Scrum - Une Méthode Agile

Bonjour à tous et toues,

Après avoir vu la méthode traditionnelle du cycle en V, découvrons les autres méthodes de gestion et de pilotage de projets qui existent.

Vous avez peut-être entendu parlé des méthodes agiles, elles ont le vent en poupe en ce moment. Dans cette vidéo, je vous propose de découvrir l'une d'elle, le framework Scrum.

Bon visionnage ;)

<youtube>XICcwvMioSQ

31 Dec

2016

Écrit Par  Yann Bidon

PDCA / Roue de Deming

Bonjour à tous et à toutes,

Aujourd'hui, nouvelle série sur le pilotage de projets. J'attends vos retours en commentaire.

On va commencer en douceur en parlant de l'amélioration continue. C'est un principe qui nous pousse à une évolution et un perfectionnement perpétuel jusqu'à ce qu'on arrive à avoir le meilleur système de travail possible. Ce n'est pas une méthode pour exploiter les développeurs, je précise. C'est au contraire une démarche pour hisser le développeur vers le haut. Le but est de trouver ses poids forts et ses points faibles et de mettre ainsi en place un plan d'action pour s'améliorer.

Cette doctrine, très présente en Agile, peut se résumer par la Roue de Deming et ce qu'on appelle le PDCA. Qu'est-ce que ceci me direz-vous? Eh bien, le but de la vidéo est justement de vous les présentez.

Il ne me reste alors plus qu'à vous souhaitez un bon visionnage.

<youtube>tE74iXKoLUg

25 Dec

2016

Écrit Par  Yann Bidon

Qu'est-ce que l'infini?

Il est 23h à l'heure où je commence à écrire ces lignes, nous sommes le 24 décembre 2016 et voilà que je ne trouve rien de mieux que de débuter un article sur un des sujets qui n'est pas forcément le plus complexe mais un des plus abstraits des mathématiques : l'infini. Vaste sujet que voici, ainsi, comprenez bien qu'un seul article ne me suffira pas pour couvrir le système. C'est un sujet également passionnant car à l'instar des voyages dans le temps, cela reste totalement conceptuelle à ce jour et amène son lot de paradoxe en tout genre. C'est une intense réflexion philosophique et mathématique. Mais pour le moment, commençons tout en douceur avec une définition de l'infini. Qu'est-ce que l'infini?

On va commencer si vous le souhaitez bien par l'antagoniste et donc le "fini". On dit qu'un ensemble est fini lorsqu'il est possible de compter les éléments de cet ensemble sans omission ni répétition et ainsi d'en déduire ce qu'on appelle sa cardinalité, c'est-à-dire le taille de cet ensemble, et que ce dernier soit un nombre entier. Par exemple, les chiffres sont dénombrables. Ils ont une cardinalité de 10, c'est l'ensemble {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}. Je suis capable de les compter et d'en sortir un nombre entier (ici, 10). Le nombre d'humain sur Terre à cet instant précis est un ensemble fini. Cela va me prendre un temps énorme à tous les recenser mais j'en ai la capacité. Le nombre de graine de sable sur cette planète est un ensemble fini. Il sera très loin et impossible en une seule vie, seule, de tous les compter un à un (et qu'est-ce que cela serait chiant) mais cela reste dans le domaine du possible. Je peux tous les répertorier, un à un et les indexer avec un nombre entier croissant. J'arrivera alors à une fin.

Avant d'attaquer le cœur du sujet, j'aimera aborder un autre point : la bijection. Lorsque deux ensembles ont une cardinalité identique, alors nous sommes capable de faire une bijection. C'est-à-dire qu'on est capable de coupler deux à deux chaque élément d'un ensemble alors un élément de l'autre ensemble et n'obtenir aucun reste ni aucun manque. Je m'explique. Imaginez que vous avez un ensemble de chaises et un ensemble de personnes. Il y a bijection si vous êtes capable de mettre chaque personne sur une chaise et qu'à la fin, il n'y a ni chaise vide ni personne debout. A chaque chaise, vous êtes arrivé à faire correspondre une personne. Si vous êtes capable de faire une bijection alors veut dire que les deux ensembles ont la même cardinalité. Si je prends un autre exemple plus mathématique alors imaginons l'ensemble {1,2,3} et l'ensemble {2,4,6}, je suis capable de lier un à un les éléments et c'est normal car vous notez que j'ai juste multiplié par 2. Cette opération de multiplier par 2 est bijective car elle touche en rien la cardinalité de l'ensemble. Gardez ça dans un coin de votre tête ;) .

Bien, c'est bien beau tout ça, mais le sujet est l'infini et non le fini. Alors qu'est-ce que l'infini? Je t'écoute Billie: "Hé bien, si je garde en tête tous ce que tu as dit précédemment, c'est quelque chose qu'on ne peut pas compter". Arf, ce n'est pas si simple Billie. Car vois-tu, il y a plusieurs types d'infini. En réalité, il y a même une infinité d'infinis. Et tous ne se valent pas. Parmi cette infinité d'infinis, il y a un ensemble qui est celui des infinis dénombrables, c'est-à-dire des infinis qu'on peut compter. En effet, j'ai bien fait la précision plus haut, pour qu'un ensemble soit fini, il faut qu'on puise lister sans omission ni répétition les éléments via un index de nombre entier et arriver à une cardinalité entière. Le point crucial est cette dernière partie. Car il y a des ensembles que je peux indexer. C'est le cas notamment de l'ensemble des entiers naturels. On est d'accord que cet ensemble est infini. Pour tous nombres de cet ensemble, je suis toujours capable d'en trouver un autre en ajoutant 1 et ce, continuellement. Pourtant, je suis capable de les compter. Chaque nombre de cet ensemble correspond à un numéro, un index qui équivaut lui-même +1 (à cause du 0 qui occupe la première position). Si on me demande où se trouve un gogol ([math]10^{100}[/math]), je lui dirai en gogol+1 position. Je suis capable de les compter, simplement, il a une cardinalité [math]\infty[/math](symbole de l'infini). Et là, vous allez me dire, c'est assez intuitif, le cas des entiers naturels est assez simple. Et c'est vrai mais sachez par exemple que l'ensemble des rationnels positifs est dénombrable. L'image ci-dessous montre qu'il est possible d'ordonner et donc compter l'ensemble infini des fractions positives:
image utilisateur

"Ok, ok, laisse-moi retenter alors. Un ensemble est dit infini si sa cardinalité est l'infini". Ma remarque de tout à l'heure visait à souligner l'existence d'ensemble infini dénombrable (et donc avec une cardinalité infini). Cependant, tous ne le sont pas, ainsi, je ne peux accepter cette définition réductrice, Billie, désolé. Regarde, l'ensemble des réels ne peut être compté. Tu commences par 0 puis ensuite quoi? 0.000001? Mais tu as 0.0000001 avant voire même 0.00000...1. Mes honorés lecteurs, vous allez me rétorquer que cet argument ne suffit pas à monter qu'on ne peut les compter. Peut-être en effet existerait-il une méthode spéciale à l'instar de ce qu'on a fait avec les rationnels. Très juste, hélas, il a été démontré par Cantor en 1891 qu'on ne pouvait les dénombres via l'argument de la diagonale. Puisqu'on ne peut les dénombrer, prenons des nombres infinis au hazard. En partant du premier élément, je trace une diagonale. Je tombe alors sur un chiffre à chaque ligne. Je vais alors reconstituer un nombre en incrémentant de un chaque chiffre et en passant le 9 à 0. Ce nombre sera forcément nouveau car il différera forcément d'un chiffre par rapport à un nombre précédent. Rien ne vaut une image:
image utilisateur
Vous allez me rétorquer "mais du coup, on peut les indexer". Bah non car pour déterminer le nombre, on a besoin de la diagonale en entière et donc de la liste déjà formée. Ce qui est impossible car infini donc conceptuellement, on sait qu'ils sont infinis mais on sait qu'on ne peut les compter.

"Bon ok, l'infini, c'est la taille d'un ensemble dont la cardinalité n'existe pas ou n'est pas entière. Ca te va mieux?" Il y a du mieux. Vraiment. Mais j'aimerai qu'on insiste davantage sur le fait que l'infini n'est pas un nombre. C'est un concept, comme Dieu, la Destinée, l'origine de tout. Cela permet de traiter un sujet difficilement matérialisable, palpable et au final, dont on ne sait pas grand chose. C'est un label, une étiquette qu'on met pour désigner une caractéristique, ce n'est pas quelque chose de figer. Si je prends un ensemble infini, alors si j'ajoute un élément, j'aurai toujours un ensemble infini, ça veut dire que [math]\infty + 1 = \infty[/math]. Ca n'a pas de sens mathématiquement parlant. L'infini n'est pas un nombre, on n'additionne pas des choses à l'infini. Mais sortons des nombres pour un exemple plus concret. Connaissez-vous l'hôtel de Hilbert? C'est un hôtel imaginaire qui a la particularité d'avoir une infinité de chambres. Imaginons que cette infinité de chambre soit occupé par une infinité de client. Vous vous présentez à l'accueil, pourrons-t-il vous accueillir? Oui. Car contrairement à un ensemble fini, on a ici une infinité de chambre et ce, même en présence d'une infinité de client. On va simplement faire une translation. On va demander à chacun des occupants d'aller dans la chambre dont le numéro est augmenté de 1 par rapport à la sienne. Donc le 1 ira dans le 2, le 2 dans le 3 et ce infiniment. Il y aura forcément une chambre avec le numéro d'après car c'est infini. Il ne vous reste plus qu'à occuper la chambre 1 désormais désertée.

Cela peut même aller à l'encontre de notre intuition. Prenez l'ensemble des entiers naturels {0, 1, 2, 3, ...} et l'ensemble {0, 2, 4, 6, ...}. Intuitivement, on dirait que le premier contient plus d'éléments que l'autre. Mais avec l'infini, ce n'est pas vrai. Ca ne change rien, cela reste l'infini. Et pour le prouver, je vais faire appel à la parenthèse de tout à l'heure, la bijection. Ici, j'ai de nouveau pris l'ensemble du double des entiers naturels. J'ai juste multiplié infiniment par 2. Donc je suis capable de les coupler un à un et donc de faire une bijection. De ce fait, ils font la même taille. Donc [math]2 \times \infty = \infty[/math]. Ils sont de même taille alors qu'intuitivement, on dirait que le premier en à plus. Si on reprend l'exemple de l'Hôtel de Hilbert, imaginons que cette fois, une nouvelle infinité de client se présente aux guichets, peut-on les accueillir? Oui, encore une fois, une simple translation suffit. On demande aux clients de prendre la chambre dont le numéro est le double du leur. Vous venez de libérer une infinité de chambres pour accueillir votre infinité de client.

De là, il faut juste retenir une chose. L'infini n'est pas un nombre, on ne fait pas d'opération dessus. C'est un concept. "Je vois. Mais dans ce cas, que voulais-tu dire tout à l'heure quand tu as dis que tous les infinis ne se valent pas? Car si les opérations ne changent rien à la nature de l'infini, qu'est-ce qui les distinguerait?" Certains infinis sont plus petits ou plus grand que d'autres. Mais cela sera l'occasion d'en parler dans un article Billie. Il se fait tard et je vais y aller. Bonne nuit Billie et joyeux Noël à mes chers lecteurs.

22 Oct

2016

Écrit Par  Yann Bidon

Les accords grammaticaux hauts en couleur

Bonjour à toutes et bonjour à tous,

Aujourd'hui, je me sens d'humour à écrire un article sur des règles grammaticales. C'est un sujet tellement passionnant :D . Les règles de français peuvent se montrer parfois relativement complexes et c'est ce qui en fait sa richesse. Ainsi, on fait souvent tous des fautes. C'est normal car on ne se relit pas, par mégarde ou bien car on s'en moque et ne veut pas se prendre la tête avec ça. Donc, oui, je fais des fautes, vous en trouverez ça et là et peut-être même sur cet article mais ça ne m'empêche pas de connaître et de partager les règles grammaticales de notre belle langue.

Le sujet d'aujourd'hui est d'apparence simple mais a beaucoup de subtilités. On va parler de l'accord avec des couleurs lorsque ces derniers sont adjectifs et suivent donc un nom. Alors commençons par le cas général et par défaut. Sachez qu'il n'y a pas de pièges, par défaut, les couleurs s'accordent en genre et en nombre. Ainsi, on dit bien :

Je n'ai que des chemises blanches à me mettre.

Ici, la couleur "blanc" s'accorde en genre et en nombre. C'est féminin pluriel donc blanche. Jusque là, ça ne casse pas trois pattes à un canard. Cependant, toute règle a ses exceptions, comme vous le savez. Ici, c'est le cas simple, on a une couleur abstraite seule. Qu'entends-je par abstraite? C'est que la couleur ne vient pas d'un objet réel. Des objets portent cette couleur mais cette couleur n'est pas issue d'un objet. Par exemple, bleu est abstrait. Il n'y a pas un objet "bleu". Par contre, la couleur orange nous vient du fruit, "l'Orange", la couleur ébène nous vient du bois éponyme, la couleur saphir nous vient de la pierre du même nom ou encore les marrons nous viennent des marrons (vive les marrons chauds). Or quand une couleur vient d'un objet réel, alors cette dernière devient invariable. Ainsi, on dira:

J'ai posté de grosses enveloppes marron.
Ces cravates moutarde sont d'un goût plus que douteux.
Ses chaussettes saumon doivent être rangées.

Sauf que... (hé oui, fallait s'y attendre :diable: ), il y a également des exceptions à cette exception. C'est-à-dire que des couleurs venant d'objets réels ont quand même décidées de s'accorder en genre et en nombre malgré tout. Ceux-ci sont en nombre réduit heureusement et sont : écarlate, fauve, incarnat, mauve, pourpre et rose. Ainsi, on écrira:

Avec ce froid, j'ai les joues toutes écarlates.
Regarde tous ces ballons roses.

Bien, on a vu la règle sur l'abstraction des couleurs. La règle générale s'applique aussi sur les couleurs "seules". Donc on peut facilement en déduire que sur les compositions de couleurs, c'est différent. Et c'est véridique. Ainsi lorsqu'on a une couleur avec un complément sur sa teinte ou sur une autre couleur ou tout autre nom et complément en fait, celle-ci devient invariable. Ainsi, on écrira:

Ce ciel gris foncé m'invite à prendre mon parapluie.
Ces nappes vert pomme iraient parfaitement sur la table de dehors.
La pièce avait des teintes jaune d'or incroyable.

Mention spéciale pour l'association de couleurs qui enclenche ainsi l'apparition d'un tiret entre les deux. Ils restent tout fait invariable conformément à la règle ci-avant. Ainsi, on écrira:

Cette pierre bleu-vert me fait penser à un topaze.

Bon ça va. Mais là, c'est quand elles sont accolées. Quid si je rajoute une conjonction de coordination comme "et"? Eh bien dans ce cas là, ça depend de ce qu'on veut dire. Si l'objet a deux couleurs simultanément sur lui alors c'est invariable. Ainsi, on écrira:

Les t-shirts rayés bleu et noir sont dans le tiroir.

Ici, les t-shirts portent les deux couleurs, et j'ai insisté exprès par l'ajout du rayé. Donc comme c'est bicolore, c'est invariable. Si, par contre, vous voulez qu'il y a des objets entièrement d'une couleur et d'autres entièrement d'une autres alors on accorde. Ainsi, on écrira:

Les maillots rouges et verts s'affrontent dans le stade.

Ici, on a des maillots tous verts et d'autres tous rouges et je le sais car j'ai accordé. Attention toutefois car on accorde conformément aux règles précédentes. Donc je dois écrire :

Des boites orange et rouges trainent sur l'étagère.

Ici, j'accorde donc c'est des boites toutes orange et toutes rouges mais orange ne s'accorde pas comme on l'a vu précédemment. Et si j'avais mis "des boites orange et acajou", est-ce bicolor ou c'est des boites de couleurs unis mais donc les noms de couleurs ne s'accordent pas? Eh bien, on ne peut pas le déterminer avec juste ça. C'est les limites du système.

Voilà, j'espère que ça vous a permis d'y voir plus clair dans l'accord des couleurs.