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Yann Bidon - Développeur web et d'applications

Le blog

12 Mar

2017

Écrit Par  Yann Bidon

Que faire à la création d'un projet

Bonjour à toutes et à tous,

On a une idée et souhaite la concrétiser. On va alors mettre un place un projet pour cela. Mais il convient de se poser des questions essentielles en amont pour déterminer s'il est opportun de lancer ce projet. Ces dernières vont vous être présenté en détail dans cette vidéo.

Quel est le besoin auquel doit répondre votre projet? Quels sont vos objectifs et vos attendus? Quels sont les ressources nécessaires au bon déroulé du projets? Quels sont les risques que je peux rencontrer? Voilà tant de questions qu'il faut impérativement se poser et y répondre le plus clairement possible lors de la création d'un projet.
<youtube>SX2bTW4xe20

18 Feb

2017

Écrit Par  Yann Bidon

D'où vient le discriminant et son utilité?

J'imagine qu'on a déjà dû vous apprendre à résoudre une équation du second degré, sinon vous ne chercherez pas un article sur le discriminant en mathématique. On a dû vous expliquer que lorsqu'on avait un polynôme du second degré, du type [math]ax^2+bx+c[/math] et que vous recherchez les racines, c'est-à-dire lorsque que ce polynôme s'annule, on cherche un delta majuscule qu'on appelle Discriminant tel que [math]\Delta = b^2 - 4ac[/math] et on regarde son signe. Alors, on gobe ça, ça marche très bien mais on ne nous explique pas toujours d'où il vient. Pourquoi cette valeur [math]b^2 - 4ac[/math] ? Cela sort d'où? Et en quoi son signe nous permet de déterminer les racines d'un polynôme?

Je ne sais pas vous mais personnellement, je n'aime pas apprendre bêtement des choses. J'ai besoin de comprendre. Une fois que j'ai assimilé la logique, je retiens beaucoup plus facilement que du par-cœur car du coup, ça fait sens. Bien sûr, ce n'est pas un savoir caché et certains professeurs l'expliquent et c'est génial. Mais avec la pression du programme et le peu de temps qu'on a pour le faire, certains ont tendance à aller à l'essentiel en donnant les outils sans mentionner pourquoi ils marchent. En réalité, il nous appartient à nous de chercher et une simple recherche sur le net vous amènera la réponse. C'est peut-être même ça qui vous a amené. Donc rentrons dans le vif du sujet.

Pour vous montrer que c'est absolu, générique, je ne vais pas prendre un exemple spécifique et je fais rester avec la fonction [math]f(x) = ax^2+bx+c[/math]. L'idée va être de réécrire cette fonction sous une être forme. Cette nouvelle forme s'appelle la forme canonique. Tout d'abord, on va factoriser a : [math]ax^2+bx+c = a(x^2+ \frac{b}{a}x + \frac{c}{a})[/math]. Jusque là, ça ne casse pas trois pattes à un canard. Ensuite, c'est là que se passe toute l'intelligence du processus. On note qu'on a presque une identité remarquable. Effectivement, [math](x + \frac{b}{2a})^2 = x^2 + \frac{b}{a}x + (\frac{b}{2a})^2[/math]. On y est presque dans notre cas. Il nous manque juste [math](\frac{b}{2a})^2[/math]. Dans notre polynôme factorisé, on peut ajouter 0 sans rien changer du résultat, vous êtes d'accord? [math]a(x^2+ \frac{b}{a}x + \frac{c}{a}) = a(x^2+ \frac{b}{a}x + 0 + \frac{c}{a})[/math]. Mais pourquoi écrire bêtement 0 lorsqu'on peut écrire [math](\frac{b}{2a})^2 - (\frac{b}{2a})^2[/math] :D ? Notre fonction devient [math]f(x) = a(x^2+ \frac{b}{a}x + (\frac{b}{2a})^2 - (\frac{b}{2a})^2 + \frac{c}{a})[/math]. On s'est embêté à retrouver une identité remarquable donc utilisons la : [math]f(x) = a((x +\frac{b}{2a})^2 - (\frac{b}{2a})^2 + \frac{c}{a})[/math]. Bien, on a un carré, l'avantage est qu'on sait que ça sera toujours positif ou nul.

Maintenant, intéressons-nous à ce qu'il reste. On va notamment les mettre sous le même dénominateur : [math] - (\frac{b}{2a})^2 + \frac{c}{a} = -\frac{b^2}{4a^2} + \frac{c}{a} = \frac{-b^2}{4a^2} + \frac{4ac}{4a^2} = \frac{-b^2 + 4ac}{4a^2} = - \frac{b^2 - 4ac}{4a^2}[/math]. Remettons cela dans notre fonction, on finit avec : [math]f(x) = a((x +\frac{b}{2a})^2 - \frac{b^2 - 4ac}{4a^2})[/math].

Je rappelle le but initial, c'est de trouver pour quel x, on a [math]f(x) = 0[/math]. Donc [math]f(x) = 0 \Rightarrow a((x +\frac{b}{2a})^2 - \frac{b^2 - 4ac}{4a^2}) = 0 \Rightarrow (x +\frac{b}{2a})^2 - \frac{b^2 - 4ac}{4a^2} = 0\Rightarrow (x +\frac{b}{2a})^2 = \frac{b^2 - 4ac}{4a^2}[/math]. On arrive donc à un carré qui doit être égal à un nombre de signe variable. Mais de quoi dépend réellement le signe de ce nombre? De [math]4a^2[/math]? Évidemment que non car a au carré sera toujours positif donc [math]4a^2[/math] aussi. La seule chose qui va faire influer le résultat est le signe de [math]b^2 - 4ac[/math]. Et comme on a la flemme de réécrire ça à chaque fois, on a dit qu'on allait créer une variable pour ça, et on a établi que [math]\Delta = b^2 - 4ac[/math].

Force est de constater qu'on retrouve ici notre discriminant et qu'au final, tout dépend de lui pour trouver l'égalité qui permet de déterminer les x tel que f(x) = 0. Pour être plus précis, tout dépend du signe du discriminant donc travaillons par disjonction des cas.

Si [math]\Delta > 0[/math]

Un carré est égal à un nombre positif. Cela signifie qu'on peut appliquer de part et d'autres de l'équation la fonction racine carrée défini sur [math][0;+\infty[[/math]. On a donc [math](x +\frac{b}{2a})^2 = \frac{\Delta}{4a^2}[/math] [math]\Rightarrow x +\frac{b}{2a} = \sqrt{\frac{\Delta}{4a^2}}\Rightarrow x +\frac{b}{2a} = |\frac{\sqrt{\Delta}}{2a}|[/math].

Ainsi, on arrive à deux cas: [math]x +\frac{b}{2a} = \frac{\sqrt{\Delta}}{2a}\Rightarrow x = \frac{b+\sqrt{\Delta}}{2a}[/math] et [math]x +\frac{b}{2a} = - \frac{\sqrt{\Delta}}{2a}\Rightarrow x = \frac{b-\sqrt{\Delta}}{2a}[/math].

Si [math]\Delta = 0[/math]

C'est le cas le plus simple car du coup, [math]\frac{\Delta}{4a^2} = 0[/math]. On se retrouve ainsi avec [math](x +\frac{b}{2a})^2 = 0 \Rightarrow x +\frac{b}{2a} = 0 \Rightarrow x = -\frac{b}{2a}[/math].

Si [math]\Delta < 0[/math]

Dans les réels, un carré ne peut pas égaler un nombre négatif. On s'arrête donc là, il n'y a pas de solution. Point.
Après, ça, c'est dans les réels. Mais pourquoi se borner à cela? On pose [math] -1 = i^2[/math] et nous voici dans les complexes. Or [math]\Delta < 0 \Rightarrow -1 \times \Delta > 0 \Rightarrow i^2 \times \Delta > 0 [/math].

En réécrivant notre delta avec i au carré, on se retrouve donc avec un nombre positif. On n'a donc plus qu'à appliquer le raisonnement vu avec delta positif et on tombe sur : [math]x +\frac{b}{2a} = \frac{\sqrt{\Delta i^2}}{2a}\Rightarrow x = \frac{b+\sqrt{\Delta}i}{2a}[/math] et [math]x +\frac{b}{2a} = - \frac{\sqrt{\Delta i^2}}{2a}\Rightarrow x = \frac{b-\sqrt{\Delta}i}{2a}[/math].

Voilà, maintenant, le discriminant n'a plus de secrets pour vous. Vous savez d'où il vient et pourquoi son signe vous donne tant d'informations pour déterminer les racines.

25 Jan

2017

Écrit Par  Yann Bidon

Et si l'Assemblée Nationale tombait?

L'Assemblée Nationale représente avec le Sénat le pouvoir législatif. Cela signifie qu'ils leur reviennent d'élaborer, proposer et voter des lois et de gérer le budget. En théorie, sans ce pouvoir, il n'y a pas de nouvelles lois car toute loi doit être votée par le Parlement. Il est possible, dans le cas des ordonnances, de mettre en application directement la loi sans attendre qu'elle soit votée mais quoiqu'il arrive, elle devra à un moment ou à un autre être votée par le Parlement. Au sein du Parlement, le dernier mot revient à l'Assemblée Nationale, qui représente les citoyens français (le Sénat représentant les collectivités locales).

Du coup, force est de constater que c'est une instance relativement importante. Que se passerait-il si cette dernière serait incapable de se réunir ou serait dissoute illégalement? Cela peut arriver. Imaginez que les parisiens se révoltent, ou bien qu'on se fasse envahir et que l'ennemi assiège Paris ou pire, un dictateur abuse de son pouvoir de président et dissout l'Assemblée plusieurs fois sans attendre la période légale prévue dans la loi ou bien qu'un coup d'État se déclenche. Les possibilités sont nombreuses. Alors tout d'un coup, tout l'appareil législative s'arrête? Plus aucune règle nationale ne peut se déclencher et seules les arrêtés des collectivités locales et les ordonnances permettraient de créer un peu d'ordre?

Heureusement, notre loi a prévu ce scénario et a prévu un plan d'action si cela devait arriver. Et il faut dire qu'elle l'a prévu de longue date car la Loi Tréveneuc date du 15 février 1872. Elle a été faite sous la IIIe République et contrairement à ce qu'on pourrait intuitivement croire, elle est toujours appliquée et appliquable. Pour remettre un peu de contexte, en 1870, une guerre éclate entre d'un côté le Second Empire français de Napoléon III et une coalition mené par la Prusse et composé d'États allemandes comme la confédération d'Allemagne du Nord, le royaume de Bavière et le Grand-Duché de Bade. Mais vous voulez connaître le pire? Le Pire?! On a perdu :triste: . Ils nous prendront l'Alsace et la Moselle en plus de détruire le Second Empire. Et vous savez pourquoi?! Parce qu'on n'était pas prêt! Et le comble est que c'est nous qui avions déclaré la guerre (car on ne voulait pas qu'un prince prussien soit en lice pour le trône d'Espagne et que la France se trouve prise en étau). Bref, comment cela s'est-il passé? On n'était pas de taille, la France n'a pas su mobiliser, ils ont assiégé Paris et l'ont surtout encerclé de sorte que plus rien ne sorte. Et du coup, toutes les provinces étaient séparées du pouvoir central et donc du commandement. Et cela joua en faveur de l'ennemi. Et l'on perdit.

Traumatisée par ce passif douloureux, l'Assemblée Nationale vote la loi Tréveneuc. Celle-ci prévoit qu'en cas de dissolution illégale de l'Assemblée Nationale ou d'impossibilité de se réunir, les conseils généraux (aujourd'hui, les conseils départementaux et métropolitains) doivent se saisir et se réunir au chef lieu du département ou, en cas d'impossibilité, dans n'importe quel lieu du département, pour désigner deux délégués en comité secret. Pour que cette élection soit valide, il faut que plus de la moitié du conseil soit présent. Ces deux délégués doivent alors rejoindre un lieu de regroupement avec les membres du gouvernement et les députés qui ont su s'échapper de Paris à temps. De là, une nouvelle assemblée nommée Assemblée des délégués se charge de reprendre le rôle de l'Assemblée Nationale. Le temps que cette assemblée des délégués se forme, les conseils départementaux et métropolitains ont tout pouvoir pour assurer l'ordre et le maintien de la tranquillité publique.

L'ensemble du corps d'État et donc l'ensemble des fonctionnaires et notamment les armées sont assujettis aux décisions de cette assemblée sous peine de forfaiture (et donc de trahison). Toutefois, dès que l'Assemblée Nationale pourra de nouveau être normalement constituée, l'assemblée des délégués se doit impérativement d'être dissoute au profit de l'authentique, de la seule et unique Assemblée Nationale. Si, au bout d'un mois, ce n'est toujours pas le cas, des élections départementales et métropolitaines doivent être organisé.

01 Jan

2017

Écrit Par  Yann Bidon

Parlons de sommes

Si vous êtes venus en espérant dormir (faire un petit somme), hélas, il y a méprise. Dans cet article, on va parler méthodes de sommations. En gros, on va additionner des trucs. Trivial me direz-vous. En êtes-vous vraiment bien sûr? Si cela peut sembler trivial en effet, c'est quand même un sujet assez profond que je me dois d'aborder. Je vais tâcher évidemment de rester le plus accessible possible. Mais si vous venez en pensant que cela sera une sinécure, à moins d'avoir un bon niveau de base en mathématique, vous vous tournerez vers vos successeurs et vous leur direz :
image utilisateur

"Sincèrement, pourquoi une telle mise en garde pour de bêtes additions". Tu verras, Billie, tu verras. Commençons donc par définir ce qu'est une sommation. La sommation est une fonction qui prend un nombre variable de paramètres et qui va vous ressortir le résultat des additions successives. Appelons la S. Si je fais S(4,5) alors ça va me sortir le résultat de l'addition 4+5 soit 9. Jusque là, je ne pense pas vous avoir largué. Je tiens à faire le distinguo entre la sommation et l'addition. La sommation est une succession d'additions comme je l'ai dit. L'addition, elle, n'est qu'une opération arithmétique qui prend deux grandeurs (ça peut être des nombres mais ça peut être tout, comme des longueurs, des pommes, etc.). Et en réalité, je tiens à insister sur DEUX grandeurs. Si je vous demande S(3,4,5), je demande donc le résultat du calcul suivant : 3+4+5. Je peux placer mes parenthèse comme je veux grâce à l'associativité mais dans tous les cas, que je fasse (3+4)+5 ou 3+(4+5), je vais nécessiter 2 additions. On fait notre première opération (3+4) ou (4+5) et on réinjecte le résultat comme autre entrée pour la prochaine addition. C'est comme cela que procède vos calculatrices et vos ordinateurs. Ils ont une unité arithmétique et logique (UAL ou ALU en anglais) qui prend 2 entrées et donne une seule sortie qui peut potentiellement servir d'entrée pour le prochain calcul.
image utilisateur

Jusque là, ça va, je n'ai pas cassé trois pattes à un canard. Continuons donc. Vous êtes vous déjà demandé quelles propriétés se doit d'avoir une fonction de sommation? Car là, je vous ai présenté la basique qui se contente de faire des additions successives mais il y en a bien d'autres comme nous le verrons par la suite. Il doit donc bien y avoir des critères pour dire qu'une fonction de sommation est valide mathématiquement. Cela se tient dans le triptyque Métro-Boulot-Dodo, heu, linéarité-stabilité-régularité. Qu'est-ce qui en retourne?

La linéarité



La linéarité, c'est simple. Cela signifie que je conserve la même proportionnalité en faisant des manipulations arithmétiques élémentaires sur ma sommation. Je m'explique. Prenons le calcul suivant : 3+4+5, cela me donne comme somme 12 évidemment. Si je multiplie chacun de mes éléments par 2 alors ma somme doit également être multipliée par deux pour conserver la même proportion. Je vérifie, 6 + 8 + 10, cela me donne bien 24, soit 2 fois le résultat initial. Donc pour tout nombre lambda, j'ai : [math]\sum_{n=1}^{m}(\lambda \times a_n) = \lambda \times \sum_{n=1}^{m}a_n[/math]. Si vous n'êtes pas familier avec ce type de notation, sachez que [math]\sum_{n=1}^{m}[/math] signifie la somme de n=1 jusqu'à une valeur "m" et [math]a_n[/math] est le paramètre de ma sommation en position n. Donc pour l'exemple S(3,4,5) = 3+4+5, je peux l'écrire [math]\sum_{n=1}^{3}a_n[/math] et j'aurai alors additionné les 3 paramètres dans l'ordre 1,2 et 3 qui valent successivement 3, 4 et 5. Cela revient bien au même.

Mais ce n'est pas tout, si j'ai une autre somme, tel que 0+1+2 qui me donne 3. Si je l'additionne deux à deux avec ma sommation précédente, alors je dois avoir l'addition des deux sommes. En somme (haha), ça revient à dire que si je fais (3+0)+(4+1)+(5+2) alors c'est censé me donner l'addition des sommes, soit 12+3 donc 15. Et si je regarde, c'est bien ce que j'ai :D (notez que si vous n'avez pas le même nombre d'éléments, vous faites comme moi, vous ajoutez des 0 dans la sommation qui en a le moins). De là, on peut dire que [math]\sum_{n=1}^{m}a_n + \sum_{n=1}^{m}b_n= \sum_{n=1}^{m}(a_n +b_n)[/math].

Ainsi, on est capable de déterminer une formule de la linéarité pour la sommation. Votre fonction de sommation est linéaire si l'égalité suivante est vraie :
[math]\lambda \times \sum_{n=1}^{m}a_n + \beta \times \sum_{n=1}^{m}b_n= \sum_{n=m}^{n}(\lambda \times a_n + \beta \times b_n)[/math].

La stabilité



Une fonction de sommation est dite stable si je peux en extraire ces n premiers nombres et les additionner naturellement à la fonction de sommation débutant désormais aux n+1-ème nombres. Qu'est-ce que ce charabia? En réalité, ça veut juste que si je fais S(1,2,3,4,5,6), j'aurai le même résultat que si je fais 1+2+3+S(4,5,6). Le fait que je sorte certains termes de la fonction de sommation pour les additionner de manière traditionnelle est indolore et ne change strictement rien. De même, l'autre sens est également possible. Si 1+2+3+S(4,5,6) alors, il faut que j'obtiens la même somme que si j'avais S(1,2,3,4,5,6). Forcément, ça découle de ce qu'on a vu en début de paragraphe et ça a l'air induit comme ça. Précisons également que ça marche même si on n'a pas de terme à gauche (en gros, si on a des 0). [math]S(1,2,3) = 0 + S(1,2,3) = S(0,1,2,3)[/math].

De facto, on peut résumer en disant que notre fonction est stable si, pour une série de nombres [math]a_n[/math], on a [math]\sum_{n=1}^m a_n = a_1 + a_2 + a_3 + \sum_{n=4}^m a_n[/math]

La régularité



On peut utiliser toutes les méthodes de sommation qu'on souhaite mais pour des opérations qu'on connaît, elles doivent impérativement donner le même résultat que la méthode d'addition usuelle. Et ça parait, de vous à moi, logique. Je peux développer une superbe fonction de sommation mais si 1+1 = 3, j'ai un sérieux problème. Cela a l'air extrêmement bateau de dire ça mais c'est quand même une prémisse indispensable.

En tout cas, voilà ce qu'il vous faut impérativement pour avoir une fonction de sommation correcte. Si vous ne l'avez pas alors vous risquerez d'arriver à des résultats faux. Donc voilà, c'est important à garder en tête. Mais attention, un résultat qui peut sembler aberrant n'est pas forcément faux, non plus. On verra ça plus tard.

Et si on passait aux choses sérieuses?



"C'est mignon tout ça mais franchement, tu te fais ch***. Pourquoi tant se prendre la tête pour une simple addition en masse? C'est comme, pourquoi tu t'évertue à mettre ça sous forme de fonction S alors que des + font très bien l'affaire? Tss, ces mathématiciens, ça aime se compliquer la vie pour des choses simples".

Tient, Billie reprend du poil de la bête. C'est vrai que dans les additions bateaux comme celles dont on a fait mention ci-dessus, cela fait très superflu. Mais déjà, cela permet de formaliser les choses et d'avoir ainsi une base solide et surtout vous allez voir que les additions, ce n'est pas toujours si simple. Surtout lorsqu'on va vers l'infini :D . Vous le sentiez venir, n'est-ce pas? Car après tout, comment comptes-tu faire, Billie, pour me calculer la somme suivante : [math]\sum_{n=1}^{\infty} \frac{9}{10^n}[/math] soit [math]0.9+0.09+0.009+...[/math]? Hé bien avec la méthode de sommation actuelle, ce n'est plus possible. En effet, on ne peut pas sortir une somme d'une succession infinie avec notre simple opérateur +. Il a atteint ses limites haha :mdr: (vous comprendrez bientôt pourquoi c'est drôle). Il va donc falloir changer de fonction de sommation. Et là, plein de possibilités s'offrent à nous. Et il va alors faire un choix.

La méthode traditionnelle est de regarder la limite des sommes partielles de notre sommation infinie. Ainsi, notre fonction de sommation S devient dans le cadre d'une sommation infini : [math]S = \lim\limits_{n \rightarrow +\infty}(a_1+a_2+a_3+...+a_n)[/math]. Car en effet, autant notre sommation ne s'arrête jamais, autant elle peut se rapprocher de plus en plus d'une valeur déterminable. On dit alors que cette somme converge vers une valeur. Cette valeur n'est autre que la limite (en l'infini) des sommes partielles de la sommation. Pour y voir plus clair, regardons l'exemple [math]\sum_{n=1}^{\infty} \frac{9}{10^n}[/math] et notamment ses sommes partielles. À la première itération, on a 0.9, à la seconde 0.99, à la suivante 0.999 et ainsi de suite. On voit bien que cette série se rapproche de plus en plus près de 1 qui est la plus proche valeur qu'elle ne dépassera jamais de façon certaine. 1 est la limite de cette suite. Mais du coup, si vous vous rapprochez infiniment d'une valeur, ne peut-on pas dire que vous êtes cette valeur. "Non! Il y aura toujours un écart même infime!". Vraiment? Je parle ici de l'infini. Il n'y aura jamais un 9 final donc peut-il y avoir un écart. Faut voir ça autrement. Imaginons, je te suis, Billie. Il y a un écart. Dans ce cas là, combien dois-je enlever à 1 pour avoir la valeur de ma somme? 0.1? 0.0000001? Il faudrait retirer 0.000000... et ça n'aura jamais de fin car il y aura toujours un 9 après le 9. Si au final, je dois retirer une infinité de 0 à 1 pour que ça soit également à ma somme, en réalité, je ne dois rien retirer. Et donc 1 serait bien égale à 0.99999999... Comme je vous l'avais annoncé dans mon précédent article, c'est fou :D .

Pour votre curiosité personnelle, on peut aisément montrer que la suite tend vers 1. On a une suite géométrique de première terme [math]u_o = \frac{9}{10}[/math] et de raison [math]q = \frac{1}{10}[/math]. On sait que la somme des termes d'une suite géométrique s'obtient en calculant [math]u_0 \times \frac{1-q^{n+1}}{1-q}[/math]. Dans notre cas, on a donc : [math]\frac{9}{10} \times \frac{1-(\frac{1}{10})^{n+1}}{1-\frac{1}{10}} = \frac{9}{10} \times \frac{1-\frac{1}{10^{n+1}}}{\frac{9}{10}} = 1-\frac{1}{10^{n+1}}[/math]. Or [math]\lim\limits_{n \rightarrow +\infty}\frac{1}{10^{n+1}} = 0 \Rightarrow \lim\limits_{n \rightarrow +\infty}1 - \frac{1}{10^{n+1}} = 1 [/math]

Cette méthode marche parfaitement pour toute somme absolument convergente. Et j'insiste sur le mot "absolument". Pour clarifier davantage, dans notre somme, il n'y a pas une alternance de signe qui prise isolément diverge vers l'infini. Prenons un exemple, la formule de calcul de Pi découverte par Madhava de Sangamagram en est un excellent. Il a réussi à démontrer que [math]\pi = 4 - \frac{4}{3} + \frac{4}{5} - \frac{4}{7} + \frac{4}{9} - ...[/math]. Et cette somme [math]4 \sum^{\infty}_{n=0} \frac{(-1)^n}{2n+1}[/math] converge vraiment vers pi. Mais regardons la suite formée uniquement par les termes positifs. On a [math]4 + \frac{4}{5} + \frac{4}{9} + + \frac{4}{13} + ...[/math]. On peut le démontrer mais l'article est déjà long donc je vous prie de me croire sur parole, cette série diverge vers [math]+\infty[/math]. Regardons maintenant la suite faite par les nombres négatifs, on a : [math]- \frac{4}{3} - \frac{4}{7} - \frac{4}{11} -...[/math] et là encore, croyez moi, ça diverge vers [math]-\infty[/math]. On parle alors de série semi-convergente.

Vient alors un problème. En réordonnant les nombres de cette série, comme elle marche par compensation pour converger, je suis capable de la faire converger vers n'importe quel nombre. C'est ce qu'on appelle le théorème de réarrangement de Riemann. Il s'explique extrêmement facilement. Prenez votre série et faites en deux listes ordonnées, l'une avec les nombres positifs du plus grand au plus petit et l'autre avec les nombres négatifs du plus grand au plus petite. Choisissez alors le nombre vers lequel vous voulez converger. Dépilez et additionnez autant de nombres positifs nécessaires de votre liste jusqu'à dépasser votre nombre. Une fois dépassé, vous dépilez et additionnez autant de nombres négatifs nécessaires de votre seconde liste jusqu'à être en dessous de votre nombre. À partir de là, vous continuez le processus. Comme vos listes sont triées, à chaque fois, vous vous rapprocherez irrémédiablement et à l'infini de votre valeur voulue. Félicitation, vous venez de faire converger votre série là où vous le souhaitez. Reprenons la formule de calcul de pi. En la réarrangeant un petit peu, on a [math]4 - \frac{4}{3} - \frac{4}{7} - \frac{4}{11} - \frac{4}{15} + \frac{4}{5} - \frac{4}{19} - ...[/math] qui converge alors vers le nombre d'or.

De facto, notre méthode de calcul de somme infini marche bien mais on perd une fonction de notre système d'addition lors d'une série semi-convergente. On ne peut plus toucher à l'ordre des termes. On perd donc la propriété de commutativité de l'addition. Pour ceux qui l'ignorent, la commutativité est ce qui nous permet d'affirmer que 1+2+3 est strictement égal à 3+1+2. On peut réarranger nos nombres, cela ne change rien. Alors la sommation usuelle de série semi-convergente, ce n'est hélas plus possible.

Quid des séries divergentes? Pas de sommes?



Vous vous doutiez bien que depuis on a trouvé des outils pour les séries divergentes. Pour cela, il vous suffit de changer de fonction de sommation. En réalité, si vous lisez mes articles assidument, vous devez déjà en connaître une, on l'a vu dans l'article "1-1+1-1+1-1+...=1/2" et se nomme la sommation de Cesàro. Cette fonction de sommation s'intéresse plus à la simple limite des sommes partielles mais à la limite de la moyenne des sommes partielles, c'est-à-dire : [math]S = \lim\limits_{n \rightarrow +\infty}\frac{1}{n}(a_1+a_2+a_3+...+a_n)[/math]. Je vous laisserai vérifier qu'elle respecte les trois propriétés mentionnées ci-dessus (linéarité, stabilité et régularité), vous êtes grand. En réalité, c'est bien car la sommation de Cesàro est "valide" qu'on peut faire le raisonnement suivant :
[math]S = 1-1+1-1+1-1+…\\
\Rightarrow 1-S = 1- (1-1+1-1+1-1+…)\\
\Rightarrow 1 – S = 1-1+1-1+1-1+…. \\
\Rightarrow 1- S = S\\
\Rightarrow 2S = 1\\
\Rightarrow S = \frac{1}{2}[/math]

Alors évidemment, une somme infinie de 1 et de -1 donnant [math]\frac{1}{2}[/math], ça a de quoi surprendre. Mais je me permettrai de citer mon article :

Cette somme de 1 et de -1 donnerait une fraction ? Fadaise et billevesée. Et pourtant… avec nos outils mathématiques modernes, on trouve même que c’est le résultat le plus probant. Cette série diverge. En effet, si on regarde les résultats des sommes partielles, on a 1,0,1,0,1,0… Donc selon l’étape où l’on est, on a comme résultat soit 1 soit 0. Il n’y a donc pas de limite, on ne converge pas vers une valeur, dans le sens, on ne se rapproche/tend pas vers une valeur. Cela ne veut pas pour autant dire que mathématiquement, cette somme n’a pas de valeur.
~Yann Bidon



L'infini est plein de surprises, croyez-moi. Il nous force à sortir de notre cadre conventionnel pour ouvrir à de nouvelles perspectives. On peut le rejeter, nier l'infini. Pourtant, ces calculs aux résultats surprenants trouvent étonnamment des applications des plus concrètes, notamment en physique, preuve de leur véracité. Sachez que d'autres méthodes de sommation existent tels que celles d'Abel, de Borel... Je ne vais pas toutes les lister. Peut-être feront-elles l'objet d'un autre article mais pour l'heure, notez qu'en cas de divergences, on a des outils mathématiques pour nous aider.

"Donc toute sommation a un résultat définissable?" Non, Billie. J'en suis navré mais malgré tous nos outils, on ne peut parfois pas trouver de résultats. Prenons la somme [math]S = \sum 1 = 1+1+1+1+...[/math]. Que se passe-t-il si j'applique la même logique de celle de la série de Grandi?
[math]S = 1+1+1+1+1+1+…\\
\Rightarrow 1+S = 1+ (1+1+1+1+1+1+…)\\
\Rightarrow 1+S = 1+1+1+1+1+1+…\\
\Rightarrow 1+S = S\\
\Rightarrow 0 = 1[/math]

En cela, tu notes bien qu'on a ici un raisonnement par l'absurde témoignant de la non-linéarité du procédé et donc qu'on n'a pas de fonctions linéaires, stables et régulières qui nous permettraient d'obtenir un résultat. Ca va juste vers l'infini, point.

"Objection! Wiki, il a dit que c'est possible et que ça vaut [math]- \frac{1}{2}[/math]". Je comprends tout à fait ton objection. Et c'est bien de garder l'esprit ouvert et de diversifier tes sources. Mais que dit exactement l'article de Wiki? Il ne parle pas de somme, il parle d'une régularisation. C'est un autre procédé mais je ne vais pas le détailler ici. Mais vu que tu aimes wiki, clique ici pour allait voir la page associée.

Bon, je vais m'arrêter là, je pense. Mais comme vous voyez, cette initiation à la sommation infinie fut quand même bien consistante :D . J'espère avoir su rester le plus didactique possible et que je ne vous ai pas trop larguer. Sinon, bah voyez l'image de début d'article XD .

31 Dec

2016

Écrit Par  Yann Bidon

Le burn-up chart

Bonjour à tous et à toutes,

Aujourd'hui, je vous propose de découvrir un outil de suivi de projet permettant de savoir si vous êtes en avance ou en retard et l'état actuel d'avancement d'une tâche, d'une partie du projet ou de la division de votre choix tant l'outil est générique.

Cet outil n'est autre que le burn-up chart. C'est donc un graphique. Dans cette vidéo, je vais vous apprendre à l'utiliser et à le créer à l'aide d'un tableur, en l'occurrence Excel.

Bon visionnage ;) ,

<youtube>3-9F4rlYdkk

12 Mar

2017

Écrit Par  Yann Bidon

Pourquoi la somme successive des chiffres d'un multiple de 9 donne 9?

Beaucoup d'énigmes, de tours de magie ou de divination jouent sur cette propriété de prime abord étonnante des multiples de 9. Si je prends n'importe quel nombre non nul et que je le multiplie par 9 alors l'addition successive de ses chiffres nous donnera 9. Par exemple, si je prends [math]541 \times 9 = 4869[/math] or [math]4+8+6+9=27[/math] et [math]2+7=9[/math]. Comme je l'ai susmentionné, cela peut être de prime abord étonnant mais en réalité, celle est tout a fait logique et réside dans le fait qu'en base 10, 9 est le nombre qui précèdent le nombre de la base (en gros [math]9 = 10 -1[/math] et c'est ce qui en fait sa singularité).

Nous travaillons usuellement en base 10, cela signifie que n'importe quel nombre peut être décomposé de tel façon : [math] nombre = ...+d \times 10^{3}+ c \times 10^{2} + b \times 10^{1} + a \times 10^{0} =[/math] [math]...+ d\times 1000 + c \times 100 + b \times 10 + a[/math]. Cela vaut pour tout nombre positif ou nul, sachant que les chiffres a,b,c... peuvent valoir 0. Pour les négatifs, il suffit de rajouter un moins devant. Je vous propose de jouer un peu avec cette écriture: [math]nombre = ...+1000d+100c+10b+a =[/math] [math]....+999d+99c+9b+a+b+c+d+...=[/math] [math]9\times (...+111d+11c+b)+(....d+c+b+a) =[/math] [math]9\times x + (...d+c+b+a)[/math]. Je me suis permis d'ajouter une variable x pour simplifier l'écriture car ce nombre [math](...+111d+11c+b)[/math] ne nous intéresse guère. Ce qu'il faut remarquer, c'est que pour tous nombres en base 10, on peut l'écrire comme un multiple de 9 auquel on ajoute la somme de ses chiffres.

Maintenant, posons que notre nombre de départ soit un multiple de 9, alors [math]9y = 9x + (...+d+c+b+a)[/math]. On a donc un multiple de 9 qui est égal à un multiple de 9 plus une addition de ses chiffres. Pour que cela soit un multiple de 9, alors on a pas le choix, il faut que cette addition de chiffres soit également un multiple de 9. De ce fait, dans le cas où l'on prend un multiple de 9, alors l'addition de ses chiffres nous donnera forcément un autre multiple de 9 plus petit. Cela vaut pour tous multiples de 9. Donc cela vaut également pour le nombre obtenu via l'addition des chiffres d'un multiple de 9 plus grand. On peut donc par récursivité en déduire que les additions successives de multiples de 9 amèneront inévitablement à 9 ou 0 (0 étant un multiple de 9 particulier).

Et...c'est tout. C'est aussi simple que cela. Pas besoin d'avoir fait bac+5 pour comprendre cela, une bonne logique suffit. Mais 9 n'a rien de magique. C'est juste car c'est le nombre précédent la base. Si je travaille en base 8 (en octal) alors les multiples de 7 ont également cette propriété. Par exemple, en base 8, on a [math]7 \times 6523 = 56 505[/math] or [math]5+6+5+0+5 = 25[/math] et [math]2+5 = 7[/math].

28 Jan

2017

Écrit Par  Yann Bidon

Les mérovingiens - Les rois de France

Une amie me demanda si je pouvais lui faire un petit condensé sur les rois de France. Évidemment, votre humble serviteur accepta bien volontiers. On commence donc cette petite série sur les rois de France et cela débute bien évidemment par les mérovingiens.

Tout d’abord, commençons par casser le mythe de la Gaule. Non, la Gaule n’était pas unie. Sous l’occupation romaine, c’était des tribus éparses qui commerçaient et combattaient en tant que mercenaires mais ce n’était pas une seule région fédérée. Les romains distinguaient d’ailleurs deux Gaules, en témoigne le livre de César.

Ce n’est que vers 375 que des royaumes apparuent. Pourquoi ? Car les Huns, un peuple nomade d’Asie Centrale, marchaient sur l’Europe de l’Ouest avec le terrible Attila à leur tête. Beaucoup fuirent les affres de la guerre qui s’approche de l’Europe de l’Est. Cela créa un flux migratoire très important. Pour survivre, les pillards ne trouvèrent rien de mieux que d’attaquer les maisons, les villages, piller les récoltes… Ce fut l’époque des invasions barbares. Ces barbares finirent par s'installer en Europe de l'Ouest. Ainsi ils fondèrent de nombreux royaumes. Nous pouvons citer les Wisigoths en Aquitaine (dès 418), les Alamans vers Strasbourg et Metz, les Burgondes (le Lyonnais et le Dauphiné avec une partie de la Suisse). Mais ce qui nous intéresse le plus est le royaume des Francs Rhénans (ceux qui sont le long du Rhin) et le royaume des Francs Saliens au Pays Bas. Eh oui, au départ, il y avait deux royaumes de Francs. Mais notre héritier à nous est le royaume des Francs Saliens (peu cher, on vient donc des Pays-Bas au départ). Bref, le roi de ce royaume est Clodion le Chevelu.

Rome est sur le déclin, surtout depuis la division de l’Empire en deux et les Wisigoths, les Alains et les Burgondes mène la vie dure aux romains sans compter les révoltes paysannes à cause des taxations élevées et des abus de pouvoir. Du coup, entre 432 et 435, le gros de l’armée affronte ces royaumes…et laisse l’actuel Belgique avec bien peu de défenses. Sentant l’opportunité, ni une ni deux, Clodion partit à la conquête de la Belgique. Cela fut plutôt victorieux :

image utilisateur

Mais au final, Clodion ne marqua que peu l’Histoire contrairement à son fils, le roi Mérovée.

Les Huns sont aux portes de l’Empire romain et la tension monte. C’est finalement en 451 qu’ils lancèrent leur assaut et envahirent la Gaule Romaine ainsi que tous les royaumes alentours. Mérovée les battit dans la plaine du Santerre. Impressionnée, les romains scellèrent une alliance avec les francs-saliens. Les romains reconnurent le royaume francs-saliens contre leur aide face à Attila. Se déroula alors une bataille sanglante entre Châlons-en-Champagne et Troyes avec les romains du général Aetius et les francs-saliens de Mérovée, toujours en 451. Ils réussirent là où personne encore n’avait réussi, ils mirent en déroute le grand et le puissant Attila et son armée de Huns qui partirent se replier en Europe de l’Est. Cette victoire consolida l’influence et l’importance du royaume des Francs-saliens. Grâce à Mérovée, les francs-saliens avaient enfin un royaume en paix, loin de Rome et de la menace Huns, devenant une grande puissance de la Gaule du Nord. En hommage à ce roi victorieux, la dynastie issue de lui prendra le nom des mérovingiens ! À l’inverse, l’Empire romain en sortit affaibli et perdit beaucoup de sa Gaule Romaine, ils ne leur restèrent que le nord de l’actuel France, dirigé par le général Syagrius.

De Mérovée succéda Childéric Ier. On se moque un peu de lui... C'était un bon petit soldat de Rome avec qui il entretint de bonnes relations. Ils combattirent ensemble notamment contre les Saxons. Mais sans plus. Ce qui est à noter est que c'est sous son règne que Paris commença à se rebeller et partir en guerre civil entre d'un côté les pro Syagrius et les pro-francs. Le plus important est que de Childéric Ier naquit Clovis Ier.

En 481, la France est un petit territoire qui n’a rien à voir avec les frontières d’aujourd’hui en témoigne la carte suivante :
image utilisateur

Clovis avait une seule ambition, agrandir le royaume de ses aïeux. Avant 486, il scella un mariage avec la princesse des francs rhénans pour unir le royaume des Francs. Fort de sa position et de son armée, il s’attaqua alors, en 486 (il ne perd pas de temps, le petit), au bout de l’Empire romain restante, celui administré par le général Syagrius. Il eut une grande bataille à Soisson où les deux s’affrontèrent ardemment mais victoire fut donné aux Francs. La province romaine devint franque et Syagrius tenta de trouver refuge chez les Wisigoths qui, pour acheter les faveurs de Clovis, le livrèrent à ce dernier. Ce succès permit à Clovis de contrôler la quasi-totalité de la Gaule du Nord.

L’évêque de Reims, le futur Saint Rémi, incita Clovis à aider les chrétiens de son royaume. Ils devinrent proche. Toutefois, Clovis refusa de se convertir de peur de perdre le soutien de son peuple et de ses guerriers restés païens contrairement aux autres barbares qui se sont très vite christianisés (bien que ariens). Pour l’inciter davantage à se convertir, il arrangea un mariage avec une princesse chrétienne. Ainsi Clovis épousa en 492 en secondes noces la princesse Clotilde du Royaume des Burgondes, scellant par la même un pacte de non-agression entre les deux royaumes. Cette dernière ne cessa d’essayer de convertir son mari.

Clovis continua ses ambitions expansionnistes et s’attaqua en 496 au royaume des Alamans. Malheureusement pour lui, cette bataille ne fut guère glorieuse. Son armée est en déroute et le voilà encerclé et à la merci de l’ennemi. Les barbares dont les francs font partis ne jurent que par la force que les dieux leur donnent. Or les dieux païens ont, semble-t-il, abandonné Clovis. En désespoir de cause, il tenta alors de prier Jésus Christ et jura de se convertir s’il lui apportait la victoire. C’est alors que le chef ennemi tomba sous le coup d’une arme à distance. Leur chef mort, les soldats battirent en retraite. Clovis en profita alors pour renverser la situation. Homme de parole et comptant également obtenir le soutien de l'Église institutionnelle, un des derniers vestiges romains, il tint sa promesse et se fit baptiser à Reims. Ce fut le premier roi franque chrétien.

L’empereur romain d’Orient, Anastase est très inquiet de la puissance des Goths. Il soutint alors Clovis lorsqu’en 507, les Francs attaquent le royaume des Wisigoths. La défaite de la bataille de Vouillé porta un coup dévastateur aux Wisigoths qui durent se replier jusqu’au-delà des Pyrénées, en Espagne. Vainqueur, ce grand chef de guerre fut décoré Consule honoraire par l’empereur romain d’Orient, marquant les bonnes relations entre les deux pays malgré qu’il les ait boutés hors de Gaule. Il contrôla désormais, le Nord et le Sud de la Gaule, seul restait le royaume de Burgondes dont sa femme Clotilde lui assurait le soutien. Il décida de faire de Paris la capitale de son royaume.

Tout se passa bien mais bon, il fallait bien qu’un jour, il meurt en 511. C’est notre lot à tous. Et vient un truc très nul ! La loi de succession de l’époque suivit par les Francs est pourrie. Elle consiste à diviser les terres entre les héritiers mâles. Ainsi, le royaume fut séparé entre les 4 enfants de Clovis. On distingue l’Austrasie (l’ancienne région du Royaume Francs), la Neustrie (l’ancienne province romaine), la Burgondie et l’Aquitaine.

Dernier enfant de Clovis, Clotaire 1er réussit à la mort de ses frères à réunir le royaume mais à sa propre mort, le royaume re-fut divisé entre ses 4 enfants. Et ça continue comme ça pendant un moment. On a eu Clotaire II, petit-fils de Clotaire I, qui réunifia le royaume puis son fils Dagobert 1er fit de même et ainsi de suite encore et encore jusqu’à Childéric III qui se fera déposer par Pépin le Bref.

C’est ainsi que se termine la dynastie mérovingienne. De petites tribus néerlandaises, le royaume Franc sut s’étendre dans toute la Gaule et occuper des frontières qu’on lui connaît mieux. Le royaume Franc réussit à s’affirmer et à profiter du déclin romain pour prendre en charge l’administration de la Gaule du Nord.

22 Jan

2017

Écrit Par  Yann Bidon

Earworm

Bonjour à tous et bienvenu sur ce nouvel article où l'on va traiter d'un syndrome assez embêtant et qui touche la plupart d'entre nous, pour ne pas dire tout le monde. Tout d'abord, je vous invite à écouter cette musique. Comme vous le voyez, elle dure 4 min 30. Toutefois, vous n'êtes pas obligé de l'écouter en entier, l'important est que vous la reconnaissiez:
<youtube>-3dwNpLw69Y

Ca y est, vous l'avez reconnue? Vous avez cette musique en tête? Parfait, car aujourd'hui, on va parler des Earworms. C'est un syndrome qui nous vient de l'allemand Ohrwürm, il s'appelle également stuck song syndrome ou encore Involuntary Musical Imagery. En gros, c'est quand vous avez une musique dans la tête et que celle-ci ne veut plus partir et revient sans cesse dans votre esprit. Je pense que vous devez voir de quoi je parle. C'est même quasi-sûr car il a été attesté que 98% des personnes sont sujets à des earworms. Et pour le coups, on est tous égaux face à ça. Qu'on soit riche ou pauvre, mélomane ou n'écoutant que guère de musiques, homme ou femme, on est tous affecté par ce syndrome des plus sérieux.

Ainsi, des chercheurs se sont penchés sur la problématique. Des études tendent à montrer que le syndrome durerait plus longtemps chez les femmes et les irrite davantage. Pour un earworm efficace, il faut que la musique ait des paroles. En effet, avec des paroles, la musique a 73.7% de chance de rester bloquer dans votre tête contre 7.7% pour les instrumentales. Pour augmenter les chances, il faut également que le rythme soit répétitif pour avoir un effet hypnotique accru. La chanson "It's a small world" plus haut en est un parfait exemple. Entrainante et cyclique, des paroles, elle a tout ce qu'il faut et ce n'est pas pour rien que c'est le earworm le plus efficace dans le monde aujourd'hui (aussi car c'est le plus partagé).

C'est bien beau tout ça mais pourquoi des musiques restent ainsi coincées dans notre esprit? Cela nous amène à l'effet Zeigarnik. Du nom de la psychologue Bulma Zeigarnik, elle nota que les serveurs se souvenaient plus facilement des commandes pas encore payées que celles terminées et payées. Elle poursuivit ses recherches (notamment avec des enfants) et arriva à la conclusion que notre cerveau retient davantage une tâche inachevée que les achevées. Une fois achevée, il nous est inutile de nous en souvenir. Si à l'inverse, on s'est interrompu, il est toujours bon de garder une trace si on compte la reprendre (et il le fait même si on ne compte pas la reprendre en fait). Or ce qui nous revient dans les earworms, ce n'est pas la chanson entière, c'est la ritournelle, le refrain, le rythme, le moment épique, l'envolée lyrique, bref qu'une partie de la chanson. Les earworms sont des boucles d'environ 30 secondes en moyenne. Par conséquent, on commence ainsi une tâche et on n'ira pas jusqu'au bout. Cela laisse un goût d'inachevé qui insatisfait notre psychique.

Ainsi, une façon de se débarrasser d'une chanson est de l'écouter ou de se la chanter du début jusqu'à la fin. Donc si ma vidéo vous l'a mise dans la tête, il va vous falloir écouter "It's a small world" en entier :D . Mais c'est terrible pour les musiques qui peuvent boucler et n'ont donc pas de fin. Une solution est de se mettre une autre musique en tête et une avec une fin et c'est celle-ci dont on se débarrassera. Sinon les scientifiques du Western Washington University ont également montré que faire une activité intellectuelle comme des Sudoku, des Puzzles, des anagrammes et contrepèterie... permet de faire passer un earworm.

Voilà, maintenant, vous savez quoi faire :D .

31 Dec

2016

Écrit Par  Yann Bidon

Le pair programming : est-ce vraiment une perte?

Bonjour à toutes et à tous,

Lorsqu'on parle de pair programming et qu'on explique le concept à des manageurs, il n'est pas rare leurs cheveux se dresser sur leur tête. Pourtant, le pair programming apporte de nombreux avantages qu'il est important de leur souligner.

Dans cette vidéo, je vais essayer de vous expliquer les bienfaits du pair programming pour vous montrer qu'il ne s'agit en rien d'une perte. En outre, je témoigne des marqueurs de non-succès du pair programming et quand il faut intervenir.

Avec ça, j'espère que j'aurai réussi à vous convaincre de son utilité.

<youtube>_FlnxxrFvaE

31 Dec

2016

Écrit Par  Yann Bidon

Les acteurs et instances décisionnelles d'un projet

Bonjour à toutes et à tous,

Vous n'avez jamais entendu de MOE/MOA ou encore de Copil? Pourtant, c'est un vocabulaire usuel lorsqu'on est sur un projet. Dans cette vidéo relativement courte de "Pilotage de projets", je vous propose justement de revenir sur ce vocabulaire et voir par la même les différents acteurs et instances décisionnelles d'un projet.

J'espère que cette vidéo vous plaira. Si tel est le cas, n'hésitez pas à mettre un pouce bleu et à partager. Merci d'avance et si ce n'est pas déjà fait, bon visionnage.

<youtube>FzNh5wya2pM